数学分析理论基础16：求导法则

求导法则

导数的四则运算

定理：若函数u(x),v(x)在点 $x_0$ 可导,则函数 $f(x)=u(x)\pm v(x)$ 在 $x_0$ 也可导,且 $f'(x_0)=u'(x_0)\pm v'(x_0)$

证明：

$f'(x_0)=\lim\limits_{\Delta x\to 0}{[u(x_0+\Delta x)\pm v(x_0+\Delta x)]-[u(x_0)\pm v(x_0)]\over \Delta x}$

$=\lim\limits_{\Delta x\to 0}{u(x_0+\Delta x)-u(x_0)\over \Delta x}\pm \lim\limits_{\Delta x\to 0}{v(x_0+\Delta x)-v(x_0)\over \Delta x}$

$=u'(x_0)\pm v'(x_0)\qquad\mathcal{Q.E.D}$

定理：若函数u(x),v(x)在点 $x_0$ 可导,则函数 $f(x)=u(x)v(x)$ 在点 $x_0$ 也可导,且 $f'(x_0)=u'(x_0)v(x_0)+u(x_0)v'(x_0)$

证明：

$f'(x_0)=\lim\limits_{\Delta x\to 0}{u(x_0+\Delta x)v(x_0+\Delta x)-u(x_0)v(x_0)\over \Delta x}$

$=\lim\limits_{\Delta x\to 0}{u(x_0+\Delta x)v(x_0+\Delta x)-u(x_0)v(x_0+\Delta x)+u(x_0)v(x_0+\Delta x)-u(x_0)v(x_0)\over \Delta x}$

$=\lim\limits_{\Delta x\to 0}{u(x_0+\Delta x)-u(x_0)\over \Delta x}v(x_0+\Delta x)+\lim\limits_{\Delta x\to 0}u(x_0){v(x_0+\Delta x)-v(x_0)\over \Delta x}$
$=u'(x_0)v(x_0)+u(x_0)v'(x_0)\qquad\mathcal{Q.E.D}$

注：利用数学归纳法可推广到任意有限个函数乘积

例： $(uvw)'=u'vw+uv'w+uvw'$

推论：若函数v(x)在点 $x_0$ 可导,c为常数,则 $(cv(x))'_{x=x_0}=cv'(x_0)$

定理：若函数u(x),v(x)在点 $x_0$ 可导,且 $v(x_0)\neq 0$ ,则 $f(x)={u(x)\over v(x)}$ 在点 $x_0$ 也可导,且 $f'(x_0)={u'(x_0)v(x_0)-u(x_0)v'(x_0)\over [v(x_0)]^2}$

证明：

$设f(x)=u(x)g(x),其中g(x)={1\over v(x)}$

$下证g(x)在点x_0可导$

${g(x_0+\Delta x)-g(x_0)\over \Delta x}={{1\over v(x_0+\Delta x)}-{1\over v(x_0)}\over \Delta x}$

$=-{v(x_0+\Delta x)-v(x_0)\over \Delta x}\cdot {1\over v(x_0+\Delta x)v(x_0)}$

$\because v(x)在点x_0可导$

$\therefore v(x)在点x_0连续$

$又v(x_0)\neq 0$

$\therefore ({1\over v(x)})'_{x=x_0}=g'(x_0)$

$=\lim\limits_{\Delta x\to 0}{g(x_0+\Delta x)-g(x_0)\over \Delta x}=-{v'(x_0)\over [v(x_0)]^2}$

$\therefore f'(x_0)=({u(x)\over v(x)})'_{x=x_0}$

$=u'(x_0){1\over v(x_0)}+u(x_0)(-{v'(x_0)\over [v(x_0)]^2})$

$={u'(x_0)v(x_0)-u(x_0)v'(x_0)\over [v(x_0)]^2}\qquad\mathcal{Q.E.D}$

反函数的导数

定理：设 $y=f(x)$ 为 $x=\varphi(y)$ 的反函数,若 $\varphi(y)$ 在 $U(y_0)$ 上连续且严格单调,且 $\varphi(y_0)\neq 0$ ,则f(x)在点 $x_0(x_0=\varphi(y_0))$ 可导,且 $f'(x_0)={1\over \varphi'(x_0)}$

证明：

$设\Delta x=\varphi(y_0+\Delta y)-\varphi(y_0),\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$

$\because \varphi 在U(y_0)内连续且严格单调$

$\therefore f=\varphi^{-1}在U(x_0)连续且严格单调$

$\therefore \Delta y=0\Leftrightarrow \Delta x=0$

$且\Delta y\to 0\Leftrightarrow \Delta x\to 0$

$由\varphi'(y_0)\neq 0$

$f'(x_0)=\lim\limits_{\Delta x\to 0}{\Delta y\over \Delta x}=\lim\limits_{\Delta y\to 0}{\Delta y\over \Delta x}$

$={1\over \lim\limits_{\Delta y\to 0}{\Delta x\over \Delta y}}={1\over \varphi'(y_0)}\qquad\mathcal{Q.E.D}$

例：证明 $(a^x)'=a^xlna(a\gt 0,a\neq 1)$

证：

$(a^x)'={1\over (log_ay)'}$

$={y\over log_ae}=a^xlna$

例：证明 $(arcsinx)'={1\over \sqrt{1-x^2}}$

证：

$由y=arcsinx,x\in(-1,1)是x=siny,y\in (-{\pi\over 2},{\pi\over 2})的反函数$

$(arcsinx)'={1\over (siny)'}$

$={1\over cosy}={1\over \sqrt{1-sin^2y}}$

$={1\over \sqrt{1-x^2}},x\in (-1,1)$

例：证明 $(arctanx)'={1\over 1+x^2}$

证：

$由y=arctanx,x\in R是x=tany,y\in (-{\pi\over 2},{\pi\over 2})的反函数$

$(arctanx)'={1\over (tany)'}$
$={1\over sec^2y}={1\over 1+tan^2y}$

$={1\over 1+x^2},x\in R$

复合函数的导数

引理：f(x)在点 $x_0$ 可导 $\Leftrightarrow$ 在 $U(x_0)$ 上存在一个在点 $x_0$ 连续的函数H(x),使 $f(x)-f(x_0)=H(x)(x-x_0)$ , $f'(x_0)=H(x_0)$

证明：

$必要性$

$设f(x)在点x_0可导$

$令H(x)=\begin{cases}{f(x)-f(x_0)\over x-x_0}\qquad x\in U^\circ (x_0)\\ f'(x_0)\qquad x=x_0\end{cases}$

$则\lim\limits_{x\to x_0}H(x)=\lim\limits_{x\to x_0}{f(x)-f(x_0)\over x-x_0}=f'(x_0)=H(x_0)$

$\therefore H(x)在点x_0连续$

$且f(x)-f(x_0)=H(x)(x-x_0),x\in U(x_0)$

$充分性$

$\exists H(x),x\in U(x_0)在点x_0连续$

$且f(x)-f(x_0)=H(x)(x-x_0),x\in U(x_0)$

$\because \lim\limits_{x\to x_0}{f(x)-f(x_0)\over x-x_0}=\lim\limits_{x\to x_0}H(x)=H(x_0)$

$\therefore f(x)在点x_0可导,且f'(x_0)=H(x_0)\qquad\mathcal{Q.E.D}$

注：引理说明点 $x_0$ 是函数 $g(x)={f(x)-f(x_0)\over x-x_0}$ 可去间断点的充要条件为f(x)在点 $x_0$ 可导

定理：设 $u=\varphi(x)$ 在点 $x_0$ 可导, $y=f(u)$ 在点 $u_0=\varphi(x_0)$ 可导,则复合函数 $f\circ \varphi$ 在点 $x_0$ 可导,且 $(f\circ \varphi)'(x_0)=f'(u_0)\varphi'(x_0)=f'(\varphi(x_0))\varphi'(x_0)$

证明：

$\because f(u)在u_0可导$

$\therefore 存在一个在点u_0连续的函数F(u)使得$

$f'(u_0)=F(u_0)$

$且f(u)-f(u_0)=F(u)(u-u_0),u\in U(u_0)$

$又u=\varphi(x)在点x_0可导$

$\therefore 存在一个在点x_0连续的函数\phi(x)使得$

$\varphi'(x_0)=\phi(x_0)$

$且\varphi(x)-\varphi(x_0)=\phi(x)(x-x_0),x\in U(x_0)$

$\therefore f(\varphi(x))-f(\varphi(x_0))=F(\varphi(x))(\varphi(x)-\varphi(x_0))$

$=F(\varphi(x))\phi(x)(x-x_0)$

$\because \varphi,\phi在点x_0连续,F在点u_0=\varphi(x_0)连续$

$\therefore H(x)=F(\varphi(x))\phi(x)在点x_0连续$

$\therefore f\circ \varphi在点x_0可导$

$且(f\circ \varphi)'(x_0)=H(x_0)=F(\varphi(x_0))\phi(x_0)=f'(u_0)\varphi(x_0)\qquad\mathcal{Q.E.D}$

注：

1.求导公式称为链式法则

2.区别 $f'(\varphi(x))=f'(u)|_{u=\varphi(x)}$ 与 $(f(\varphi(x)))'=f'(\varphi(x))\varphi'(x)$

例(对数求导法)：设 $y={(x+5)^2(x-4)^{1\over 3}\over (x+2)^5(x+4)^{1\over 2}}$ ,求y'

解：

$两边取对数可得$

$lny=ln{(x+5)^2(x-4)^{1\over 3}\over (x+2)^5(x+4)^{1\over 2}}$

$=2ln(x+5)+{1\over 3}ln(x-4)-5ln(x+2)-{1\over 2}ln(x+4)$

$两边对x求导可得$

${y'\over y}={2\over x+5}+{1\over 3(x-4)}-{5\over x+2}-{1\over 2(x+4)}$

$\therefore y'={(x+5)^2(x-4)^{1\over 3}\over (x+2)^5(x+4)^{1\over 2}}[{2\over x+5}+{1\over 3(x-4)}-{5\over x+2}-{1\over 2(x+4)}]$

基本求导法则与公式

基本求导法则

1. $(u\pm v)'=u'\pm v'$

2. $(uv)'=u'v+uv'$ , $(cu)'=cu'(c为常数)$

3. $({u\over v})'={u'v-uv'\over v^2}$ , $({1\over v})'=-{v'\over v^2}$

4.反函数导数 ${dy\over dx}={1\over {dx\over dy}}$

5.复合函数导数 ${dy\over dx}={dy\over du}\cdot {du\over dx}$

基本初等函数导数公式

1. $(c)'=0(c为常数)$

2. $(x^\alpha)'=\alpha x^{\alpha-1}(\alpha 为任意实数)$

3. $(sinx)'=cosx,(cosx)'=-sinx,(tanx)'=sec^2x$

$(cotx)'=-csc^2x,(secx)'=secxtanx,(cscx)'=-cscxcotx$

4. $(arcsinx)'={1\over \sqrt{1-x^2}},(arccosx)'=-{1\over \sqrt{1-x^2}}$

$(arctanx)'={1\over 1+x^2},(arccotx)'=-{1\over 1+x^2}$

5. $(a^x)'=a^xlna,(e^x)'=e^x$

6. $(log_ax)'={1\over xlna},(lnx)'={1\over x}$

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