有幸读了两本书，一本是克莱因的《数学：确定性的丧失》。于是对近代西方的数学三大哲学流派产生了兴趣，逻辑主义，直觉主义，形式主义。然后又找来了一本老书，《西方数学哲学》，是以前的老教材，把这三大主义都说的很细致。按照历史的因果来说，有因必有果。这篇文章先扯点历史。
先看维基百科对形式主义的说明
要追溯形式主义的起源，又必须提到数学历史上的三大危机。关于三大数学危机指的什么，可以到b站搜李永乐老师的视频，说的很清楚。
一直以来，西方的数学家们相信。数学是就是真理，是上帝意志的体现。这也是为什么在中世纪的欧洲，那个宗教奴役思想的年代，数学未曾被禁锢。于是有了哥白尼、伽利略这些人研究自然，提出日心说、自由落体。虽然他们后来遭遇了不幸，可却是因为碰触了神学的禁忌（他们的学说颠覆了神学的世界观）。也就是说，西方的数学一直都在蓬勃发展。牛顿、笛卡尔、高斯、欧拉、莱布尼茨，这些数学家都是基督徒。他们深信自己在阐述上帝造物的规律，越多的规律被发现使得他们更加笃信上帝。
对第三次数学危机而言，大多数人了解的是罗素理发师悖论（理发师给村里不给自己理发的人理发）。它的矛盾就是，理发师到底该不该给自己理发。而事实上，在罗素悖论之前就有其他的悖论。原因就是在以前那个没有互联网的年代，书籍，报纸，是传播知识、新闻的有效途径。而罗素的《数学纲要》出了三本，理发师悖论也就广而告之了。
本来数学的世界是平坦的，相融的。欧几里得的平面几何用了几千年，《几何原本》当教材也用了几千年。困扰数学家的第五公设（若两条直线都与第三条直线相交，并且在同一边的内角之和小于两个直角，则这两条直线在这一边必定相交），和其他四条公设格格不入。从直觉上来说，太过牵强和人为。很多数学家花了大把时间去证明第五公设，有的引入了新的假设（事后被证明和第五公设等效），有的尝试用反证法，都失败了。年轻的数学家就想，既然证明了几百年都搞不定，那假设它的否定命题成立，能否推导出无矛盾的几何系统呢？
高斯最先发现了非欧几何，但是他声名斐然，不敢触大众的眉头。他的非欧几何稿件藏了几十年，去世之后才发现。罗巴切夫斯基引入可以引最少两条平行线为新的第五公设，创立双曲几何。黎曼引入一条平行线也不能引创立了椭圆几何。非欧几何在目前的建筑、测绘方面都有应用。
非欧几何和欧式几何两种彼此矛盾的几何的存在，以及后来的四元数，让数学家们开始怀疑，数学是否代表了上帝的意志，或者，他们的发现是否正确。也就是说，真正的第三次数学危机，在非欧几何创立之初就蠢蠢欲动。
而罗素的理发师悖论，犹如投入深水里的炸弹，彻底引发了数学基础的讨论。数学家们意识到数学基础的脆弱。恍若一幢高楼大夏，雄伟壮观，而它的地基却摇摇欲坠。
