Kronecker 逼近定理的应用

2025.01.03 Friday @BJ

上一篇回顾了“圆周率整数倍的小数部分”，这个结论的一般情形是 Kronecker 逼近定理，我最近的两篇论文都用到这个结论，一篇是已经发表在 ICML2024 上的，用来构造函数逼近的有限词汇表，另一篇是在投的论文，也是构造逼近性质的。

下面来考虑两个问题：

问题 1：对于矩阵 $M \in \mathbb{R}^{d \times n}$ ，何时有 $M \mathbb{N}^n = \{M z | z \in \mathbb{N}^n \}$ 在 $\mathbb{R}^{d}$ 中稠密？
问题 2：对于矩阵 $M \in \mathbb{R}^{d \times n}$ ，何时有 $M \mathbb{Z}^n = \{M z | z \in \mathbb{Z}^n \}$ 在 $\mathbb{R}^{d}$ 中稠密？

显然，当 $n \le d$ 时是不可能稠密的，因此只要考虑 $n =d+m, m\ge 1,$ 的情形。

由 Kronecker 逼近定理，假设矩阵 $A\in\mathbb{R}^{d \times m}$ 的 $d$ 个 $m$ 维行向量与坐标向量一起是有理线性无关的，即：
$\quad A^T \mathbf{k} \in \mathbb{Z}^m, \quad \mathbf{k} \in \mathbb{Z}^d \quad 当且仅当 \quad \mathbf{k} = 0,$
则有 $A \mathbb{Z}^m + \mathbb{Z}^d$ 在 $\mathbb{R}^{d}$ 中稠密（备注：而且可以证明是等分布的）。

于是乎，取 $M= [A, I_d]$ ，以及 $W = [A^T, I_m]$ 则有下面的推论：

推论：矩阵 $M= [A, I_d] \in \mathbb{R}^{d \times (d+m)}$ 使得 $M \mathbb{Z}^{d+m}= \{M z | z \in \mathbb{Z}^{d+m} \}$ 在 $\mathbb{R}^{d}$ 中稠密，当且仅当矩阵 $W = [A^T, I_m] \in \mathbb{R}^{m \times (d+m)}$ 满足 $\{ z\in \mathbb{Z}^{d+m} | W z= \mathbf{0} \} = \{ \mathbf{0} \}$ .

举个例子：经典版本的 Kronecker 逼近定理指出，如果 $1, \alpha_1, ..., \alpha_n$ 在 $\mathbb{Z}$ 上线性无关，则当 $q$ 取遍全体整数时， $(\{q \alpha_1\},...,\{q \alpha_d\})$ 在 $[0,1]^d$ 中是稠密的。写成矩阵的版本，是取 $m=1$ ， $A^T = [\alpha_1,...,\alpha_d]$ ，以及
$M =\begin{pmatrix} \alpha_1 &1 & 0& ... & 0\\ \alpha_2 &0 & 1 &... & 0\\ ... &... & ... &... & ...\\ \alpha_d &0 & 0 &... & 1\\ \end{pmatrix}.$

回到问题 1 和问题 2，两个问题的区别在于取全体自然数还是取全体整数。对于上面这个特殊的矩阵 $M$ ，如果 $\alpha_1,...,\alpha_d$ 都是负数，则该矩阵 $M$ 同时满足问题 1 和问题 2 的要求。也就是说，最小的 $n$ 就是取 $n=d+1$ 。

如果只是要构造一个矩阵 $M$ ，那么上面的矩阵 $M$ 就够了。如果是要找出矩阵 $M$ 要满足的充要条件，那就得再进一步讨论一下。

首先，上面的推论已经对 $M=[A,I_d]$ 的情形给出了充要条件，只是假定了 $M$ 具有特定的分块形式。注意到将矩阵 $M$ 换成 $QMP$ 并不会影响稠密性，只要 $Q \in \mathbb{R}^{d\times d}$ 是非奇异矩阵， $P \in \mathbb{R}^{(d+m)\times (d+m)}$ 是置换矩阵。而任何秩为 $d$ 的矩阵 $M$ 都可以写为 $Q[A, I_d] P$ 的形式，因此对于问题 2，我们可以写出完整的答案如下：

问题 2 答案：对于秩为 $d$ 的矩阵 $M \in \mathbb{R}^{d \times (d+m)}$ ，存在可逆矩阵 $Q\in \mathbb{R}^{d\times d}$ 和置换矩阵 $P \in \mathbb{R}^{(d+m)\times (d+m)}$ 使得 $M=Q[A, I_d] P$ 。要使 $M \mathbb{Z}^{d+m} = \{M z | z \in \mathbb{Z}^{d+m} \}$ 在 $\mathbb{R}^{d}$ 中稠密，当且仅当矩阵 $W = [A^T, I_m] \in \mathbb{R}^{m \times (d+m)}$ 满足 $\{ z\in \mathbb{Z}^{d+m} | W z= \mathbf{0} \} = \{ \mathbf{0} \}$ .

对于问题 1，由于指标限定取自然数，不能取负的整数，所以需要对 $M$ 再加些条件。

当 $M=[A,I_d]$ 的情形，检查 Kronecker 逼近定理的证明，实际上有下面的结论：

推论 '：矩阵 $M= [A, I_d] \in \mathbb{R}^{d \times (d+m)}$ 使得 $M (\mathbb{N}^{m} \times \mathbb{Z}^{d})= \{A z_1 + z_2 | z_1 \in \mathbb{N}^{m}, z_2 \in \mathbb{Z}^{d} \}$ 在 $\mathbb{R}^{d}$ 中稠密，当且仅当矩阵 $W = [A^T, I_m] \in \mathbb{R}^{m \times (d+m)}$ 满足 $\{ z\in \mathbb{Z}^{d+m} | W z= \mathbf{0} \} = \{ \mathbf{0} \}$ .

这里对 $A$ 的条件没有变，只是将 $M \mathbb{Z}^{d+m}$ 换成了 $M (\mathbb{N}^{m} \times \mathbb{Z}^{d})$ 。为了将 $A z_1 + z_2$ 中的 $z_2$ 也能换成自然数，关键是避免 $Mz, z\in\mathbb{N}^{d+m},$ 有的分量被限制在了半空间中。

举个例子：形如 $k_1 \sqrt{2} - k_2, k_i \in \mathbb{N}$ , 的数在 $\mathbb{R}$ 中是稠密的，但形如 $k_1 \sqrt{2} + k_2, k_i \in \mathbb{N}$ , 的数在 $\mathbb{R}$ 中不是稠密的（实际上是离散的）。

一般情形，似乎再加个条件 $M \mathbb{R}^{d+m}_+ = \mathbb{R}^d$ 就可以了。显然这是个必要条件。充分性的话，以后有空再讨论吧。

最后编辑于：2025.01.03 16:00:04

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